การคำนวณทางคณิตศาสตร์
ตารางแสดงการเปรียบเทียบเลขฐานสิบ ฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบหก
เลขฐานสิบ
|
เลขฐานสอง
|
เลขฐานแปด
|
เลขฐานสิบหก
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
2
|
10
|
2
|
2
|
3
|
11
|
3
|
3
|
4
|
100
|
4
|
4
|
5
|
101
|
5
|
5
|
6
|
110
|
6
|
6
|
7
|
111
|
7
|
7
|
8
|
1000
|
10
|
8
|
9
|
1001
|
11
|
9
|
10
|
1010
|
12
|
A
|
11
|
1011
|
13
|
B
|
12
|
1100
|
14
|
C
|
13
|
1101
|
15
|
D
|
14
|
1110
|
6
|
E
|
15
|
1111
|
17
|
F
|
16
|
10000
|
20
|
10
|
17
|
10001
|
21
|
11
|
.
.
.
|
.
.
.
|
.
.
.
|
.
.
.
|
30
|
11110
|
36
|
1E
|
31
|
11111
|
37
|
1F
|
ข้อสังเกต 1. เลขฐานใดๆ
จะมีตัวเลขน้อยกว่าฐานนั้นๆ อยู่ 1 เสมอ
การแทนลักษณะข้อมูลในคอมพิวเตอร์
การแทนข้อมูลด้วยเลขฐานสอง(Binary) การแทนด้วยระบบเลขฐานแปด
(Octal) และแทนด้วยข้อมูลระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal) เพราะระบบตัวเลขทั้งสาม นำมาใช้กับระบบคอมพิวเตอร์ปัจจุบันเป็นส่วนมาก
ตัวเลขที่เราใช้อยู่ในปัจจุบัน มีส่วนสำคัญ 2 ส่วนคือ สัญลักษณ์
และมูลค่า ในการเขียนจำนวนเลขจะต้องมีเลขฐานกำกับไว้ทุกครั้ง
ไม่เช่นนั้นอาจเข้าใจผิดกันได้ เช่น จำนวน 123 อาจเป็นได้ทั้งเลขฐาน 5,8,10,16
ก็ได้ถ้าราไม่เขียนฐานกำกับไว้ชัดเจน
จะยกเว้นจำนวนเลขที่ไม่ต้องเขียนฐานกำกับไว้ก็ได้ เฉพาะเลขฐานสิบเท่านั้น
เพราะเราคุ้นเคยกันจึงยกเว้นให้ ส่วนเลขฐานอื่นๆ จะต้องเขียนเลขกำกับไว้ทุกครั้ง
1 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง
3.1.1 การแปลงเลขจำนวนเต็ม
วิธีการแปลงที่
1 โดยการลบ
1.เอา 2n โดยให้มีค่าใกล้เคียงหรือเท่ากับเลขฐานสิบที่ต้องการจะแปลงโดยค่ายกกำลังลดลงทีละ
1
2.เอาค่าที่ยกกำลังที่ได้จากขั้นที่ 1
มาลบออกจากเลขฐานสิบนั้นถ้าลบได้ใส่ 1 ถ้าลบไม่ได้ใส่ 0 เริ่มจากซ้ายมือ
3.ทำไปเรื่อยๆ จนหมด แล้วนำเลขที่ลบได้หรือไม่ได้มาวางเรียงโดยเริ่มจากซ้ายมือ
ตัวอย่าง
3.1 แปลงเลขฐานสิบ 29 ไปเป็นเลขฐานสอง
วิธีการแปลงที่ 1 โดยการหาร
1. เอาเลขฐานสิบที่ต้องการแปลงตั้งหารด้วยสอง
2. สนใจเศษ
ถ้าหารลงตัว ให้เศษเป็น 0 ถ้าหารไม่ลงตัว ให้เศษเป็น 1
3.
หารไปเรื่อยๆ จนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร
4. การตอบ
จะเรียงข้อมูลจากล่างขึ้นบน โดยตัวบนจะเป็นหลักหน่วยเสมอ
ตัวถัดไปจะนำมาจัดเรียงเป็นหลักสิบ ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ
ตัวอย่าง
3.2 แปลงเลขฐานสิบ 29 ไปเป็นเลขฐานสอง
3.1.2 การแปลงเลขทศนิยมฐานสิบเป็นเลขฐานสอง
กรณีเลขฐานสิบเป็นทศนิยม เราก็สามารถทำได้โดยการคูณเลขทศนิยมด้วย 2
ทุกๆ ครั้งที่คูณ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มในผลคูณ เราจะนำมาเป็นค่าของเลขฐานสอง
แล้วนำค่าที่เป็นทศนิยมมาคูณด้วยสองอีก ทำไปเรื่อยๆจนกว่าจะไม่มีค่าหลังสุด
แต่กรณีเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบก็จะตัดเอาตามจำนวนที่ต้องการ
ตัวอย่าง
3.3 จงแปลง 0.725 เป็นเลขฐานสอง
วิธีการแปลงทศนิยมเลขฐานสิบเป็นฐานสอง
1.
เขียนตัวเลขที่จะแปลง
2.
นำตัวเลขนั้นมาคูณกับ 2 ผลลัพธ์ที่ได้ ให้สนใจเฉพาะเลขจำนวนเต็ม ซึ่งอาจจะเป็น 0
หรือ 1
ก็ได้ ส่วนชุดตัวเลขหลังจุดทศนิยมทางขวามือ ให้นำมาเริ่มทำเหมือน
ข้อ 2 ใหม่
3
ให้ดำเนินการไปเรื่อยๆ จนกว่าเลขทศนิยมจะเป็น 0 เป็นตัวเลขวนซ้ำ
หรือเป็นทศนิยมไม่รู้จบให้หยุดทำงาน
ข้อสังเกต 1.เลขฐานสิบที่ต้องการแปลงเป็นฐานสองจะนำมาคูณ
หรือ หารกับ เลข 2 เท้านั้น เนื่องจาก แปลงจากฐานสิบ
ไปเป็น ฐานสอง
2.วิธีการตอบกรณีเป็นจำนวนเต็มจะเขียนคำตอบจากล่างขึ้นบนกรณีเป็นทศนิยมจะเขียนคำตอบจากบนลงล่าง
3.2 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปด
วิธีการทำใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง
ให้คูณหรือหารด้วยเลขฐาน โดยมี 2 กรณี
การแปลงเลขจำนวนเต็ม ต้องหารด้วยฐาน
คือ 8
ตัวอย่าง
3.4 จงแปลง 356 ฐานสิบ เป็นเลขฐานแปด
8) 356
= 8 x 44
= 352 นำ
356 – 352 จะได้ เศษ = 4
8) 44
= 8 x 5
= 40 นำ
44 – 40
จะได้เศษ = 4
5.ตอบได้เพราะตัวตั้ง (5) มีค่าน้อยกว่าตัวหาร
(8)
ดังนั้น (356)10
= (544)8
การแปลงทศนิยม ต้องคูณด้วยฐาน คือ 8
ตัวอย่าง 3.5 จงแปลง 0.72
ฐานสิบ เป็นเลขฐานแปด
72 x 8 = 5.76 เหลือ .76 ใส่ 5
76 x 8 = 6.08 เหลือ .08 ใส่ 6
08 x 8 = 0.64 เหลือ .64 ใส่ 0
64 x 8
= 5.12 เหลือ
.12 ใส่ 5
12 x 8 = 0.96 เหลือ .96 ใส่ 0
96 x 8 = 7.68 เหลือ .68 ใส่ 7
68 x 8 = 5.44 เหลือ .44 ใส่ 5
44 x 8 = 3.52 เหลือ .52 ใส่ 3
ตอบ
(0.72)10 = (0.56050753)
2 (0.72)10 = (0.56)2
3.3 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสิบหก
วิธีการทำใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปด
ให้คูณหรือหารด้วยเลขฐาน โดยมี 2 กรณี
1.2.1 การแปลงเลขจำนวนเต็ม
ต้องหารด้วยฐาน คือ 16
ตัวอย่าง 3.6 จงแปลง 2531 ฐานสิบ
เป็นเลขฐานสิ
16) 2531 = 16 x 157 = 2528 นำ 2531 – 2528 จะได้เศษ = 3
16) 158 = 16 x 9 = 144 นำ
158 – 144 จะได้เศษ = 14 --> E 9
ตอบได้เพราะตัวตั้ง (9)
มีค่าน้อยกว่าตัวหาร (16)
ดังนั้น (2531)10
= (9E3)16
1.2.2 การแปลงทศนิยม ต้องคูณด้วยฐาน คือ16
ตัวอย่าง 3.7 จงแปลง 0.85
ฐานสิบ เป็นเลขฐานสิบหก
85 x 16 = 13 .60 เหลือ
.60 ใส่ 13
60 x 16
= 9 .60
เหลือ .60 ใส่ 9
ดังนั้นจะได้ = 13 9
=
. D9 ( 13 = D ในเลขฐานสิบหก)
ตอบ
(0.85)10 = (0.D9)16
ข้อสังเกต
เลขฐานสิบหก จะใส่สัญลักษณ์ที่เป็นภาษาอังกฤษ
แทนตัวเลขตั้งแต่ 10 ถึง 15
เช่น จากตัวอย่างที่ 3.7 ใส่ E แทน 14 เวลาตอบ
ต้องตอบเป็น
5E16
(ห้าอีฐานสิบหก)
ไม่ใช่ตอบ
51416 (ห้าสิบสี่ฐานสิบหก)
3.4 การแปลงเลขฐานสองเป็นฐานสิบ
3.4.1 การแปลงเลขจำนวนเต็ม
เราสามารถทำการแปลงจากเลขฐานสอง ไปเป็นเลขฐานอื่นๆ
ที่เราถนัดก่อน เช่น แปลงไปเป็นเลขฐานแปด หรือเลข ฐานสิบหก ก่อนแล้วนำผลที่ได้
ไปแปลงเป็นเลขฐานสิบ
ตัวอย่าง 3.8 จงแปลงเลข 11102 เป็นเลขฐานสิบ
11102 = (1x23) + (1x22) + (1x21) + (0x20)
= (1x8) + (1x4) + (1x2) + (0x1)
= 8 + 4 + 2
+ 0
11102 = 1410 หรือ 11102
= 14
วิธีการแปลง 1.เขียนเลขฐานสองที่จะแปลง
1 1 1
0
2.หาค่าประจำหลักโดยเริ่มจากหลักหน่วยในที่นี้คือ
0 จะได้ 13 12 11 00
3.นำเลขแต่ละหลักมาคูณกับค่าของฐาน คือ
2 ยกกำลัง ค่าประจำหลักจากข้อ 2
และนำแต่ละหลักมาบวกกัน (1x23) + (1x22)
+ (1x21) + (0x20)
4.หาค่าจากการยกกำลัง (1x8) + (1x4)
+ (1x2) + (0x1) แล้วคูณกับเลขแต่ละหลัก
5. นำแต่ละหลักมาบวกกัน 8 + 4 + 2
+ 0 = 14
3.4.2
การแปลงเลขเลขทศนิยม
ใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขจำนวนเต็มฐานสองไปเป็นฐานสิบ
แต่ค่าประจำหลักของแต่ละหลักจะติดลบ เพราะเป็นจำนวนเลขที่อยู่หลังทศนิยม
ตัวอย่าง 3.9 จงแปลงเลข 0.0112 เป็นเลขฐานสิบ
0.0112
= (0x20) + (0x2-1) + (1x2-2) + (1x2-3)
= 0
+ 0
+ (1/4) + (1/8)
= 0
+ 0
+ 0. 25 + 0.125
0.0112
= 0.37510
วิธีการแปลง 1. เขียนเลขฐานสองที่จะแปลง
0.011
2.
หาค่าประจำหลักของเลขทศนิยมโดยเริ่มจากหลักซ้ายสุดที่อยู่ติดกับเลขทศนิยม
0 = 0-1 , 1 = 1-2 ,1 = 1-3 โดยค่าประจำหลักจะลดลงที่ละหนึ่ง จากซ้ายที่ติดกับจุดทศนิยม
ไปทางขวา (หลักการหาค่าจะตรงกันข้ามจำนวนเต็ม)
3. นำเลขแต่ละหลักมาคูณกับค่าของฐาน คือ 2 ยกกำลังค่าประจำหลักจากข้อ 2 และนำแต่ละหลักมาบวกกัน (0x2-1) + (1x2-2) + (1x2-3)
4. หาค่าจากการยกกำลัง (0 x 1/2) + (0 x 1/4) + (1x 1/8) แล้วคูณกับเลขในแต่ละหลัก
5. นำแต่ละหลักมาบวกกัน 0
+ 0.25
+ 0.125 = 0.375
ข้อสังเกต
จะต้องนำตัวเลขแต่ละหลักที่ต้องการแปลง มาทำการคูณกับเลข 2
ยกกำลังค่าประจำหลักของแต่ละหลัก (เพราะแปลงฐานสองไปเป็นฐานสิบ
จะต้องคูณกับ 2 เท่านั้น)
สรุป วิธีการแปลงฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบได้ดังนี้
วิธีที่ 1.
เขียนเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลง
2. เขียนค่าประจำหลักแสดงไว้โดยใช้ฐาน
2 ยกกำลัง โดยเริ่มจากขวา
เป็นค่ายกกำลัง 20 21 22 23 24 ไปเรื่อยๆ จนหมดเลขที่จะนำมาแปลง ในกรณีที่เป็นทศนิยม จะเริ่มจากซ้าย เป็นค่ายกกำลัง
2-1 2-2 2-3 2-4 ไปเรื่อยๆ จนหมดเลขที่จะนำมาแปลง
3. เลขฐานสองที่อยู่ในหลักใดเป็นศูนย์
ให้ตัดออกไม่ต้องนำมาคำนวณ
ให้นำเลขฐานสองที่มีค่า ประจำหลักเป็นหนึ่งเท่านั้นจึงนำมาหาค่า
4. นำผลที่ได้จากการเอา 2 ยกกำลังค่าประจำหลัก
ของแต่ละหลัก จากข้อ
มาบวกกันทุกหลักจะได้ผลลัพธ์นั่นคือค่าของเลขฐานสิบที่มีค่าตรงกับค่าของเลขฐานสองนั้นๆ
วิธีที่
2
1. เขียนเลขฐานสองที่ต้องการนำมาแปลง
2.
เขียนค่าประจำหลักโดยใช้สูตร 2 ยกกำลังเพิ่มขึ้นทีละ 1 เช่น
ถ้ามีเลขที่ต้องการแปลง 4 ตัวจะได้ สูตร 8
4 2 1
ตั้งให้ตรงหลักโดยของเลขฐานสองนั้น
3. ให้นำค่าประจำหลักในข้อ
2 มารวมกัน โดยพิจารณาเฉพาะค่าที่ตรงกับหลักเลขฐานสอง ที่เป็น 1
ถ้าตรงกับเลขฐานสองที่มีค่าเป็น 0 (ศูนย์) ไม่ต้องพิจารณา
ตัวอย่าง 3.10 จงแปลง 11102 เป็นเลขฐานสิบ
วิธีที่
1
11102
= (1x23)+ (1x22)+
(1x21)+ (0x20)
=
8 + 4 + 2
+ 0
= (14)10
วิธีที่ 2 11102
= 1
1
1
0
8
4
2
1
= 8
+ 4
+ 2
+ 0
= (14)10
ตัวอย่าง 3.11 จงแปลง 100011012 เป็นเลขฐานสิบ
วิธีที่
1 100011012
= (1x27)+ (0x26)+ (0x25)+ (0x24)+ (1x23)+ (1x22)+ (0x21)+ (1x20)
= (1x27)+ (1x23)+ (1x22)+ (1x20)
= 128 + 8
+ 4
+ 1
= (141)10
3.5 การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด
ในการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปดนั้นมีการดำเนินการหลายวิธี
ในกรณีนี้เลือกมาให้ศึกษาในกรณีที่คิดว่าง่ายที่สุด
โดยการแบ่งกลุ่มเลขฐานสองออกเป็นชุด ชุดละ 3 บิต(ตัว)
ของเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลง
3.5.1 การแปลงเลขจำนวนเต็มฐานสองเป็นฐานแปด
วิธีการแปลง
1. เขียนตัวเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลงเป็นเลขฐานแปด
2. แบ่งช่วงเลขจากด้านขวา
(จากหลักหน่วย) มาเป็นชุดตัวเลข โดยแบ่งชุดละ 3 ตัว (3 บิต) เพราะได้จาก 23 = 2
คูณกัน 3 ครั้ง ( 2x2x2
) = 8 จึงเรียกว่าเลขฐานแปด ถ้าชุดตัวเลขไม่ครบ 3 ตัว
ให้เติม 0 ลงไปด้านซ้ายมือให้ครบ 3 ตัว เช่น
2.1 1001102
= 100 110
แสดงว่าได้เลข 2 ชุด
2.2 1100011101 = 001 100 011 101
แสดงว่าได้เลข 4 ชุด
เติม 0 ทางซ้ายมือ เพื่อให้ครบ 3 ตัว (3 บิต)
3. เขียนเลขประจำหลักแต่ละหลักแต่ละหลัก
เริ่มจากหลักหน่วย ดังนี้
4 2 1 เพราะ 4+2+1 = 7
เป็นตัวเลขสูงสุดของฐานแปด ได้จาก 22 = 4 , 21 = 2 , 20 = 1 ซึ่งเราเรียกว่าค่าประจำหลัก
4.หลังจากแบ่งชุดตัวเลขฐานสองในข้อ 2
เสร็จแล้ว ให้พิจารณาว่าถ้าเลขฐานสองตำแหน่งใดเป็น
0 ให้ตัดทิ้ง ไม่ต้องนำมารวม
ถ้าเลขหลักใดเป็น 1 ให้นำค่าประจำหลักมารวมกันในชุดตัวเลขชุดนั้น
แล้วนำค่าตัวเลขของแต่ละชุดมาเขียนเรียงกัน
3.5.2
การแปลงทศนิยมฐานสองเป็นฐานแปด
วิธีการแปลง
หลักการแปลง ทำเหมือนกันกับการแปลงจำนวนเต็มฐานสองเป็นฐานแปด
แต่การแบ่งชุดของตัวเลขชุดละ 3 ตัวให้เริ่มนับจากตัวเลขถัดจากจุดทศนิยม(ด้านซ้ายมือสุดติดจับจุดทศนิยม)
โดยใช้ 4 2 1 เหมือนกัน และถ้าชุดใดมีตัวเลขไม่ครบ 3 ตัว ก็ให้เติม 0
ด้านขวามือสุดให้ครบ 3 (การเติม 0 จะเติมตรงกันข้ามกับกรณีจำนวนเต็ม)
ตัวอย่าง จงแปลง
10011.11012 เป็นเลขฐานแปด
ที่มา:https://sites.google.com/site/30251commath/bth-reiyn/-4
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น